Письмо отображается по 2 раза в разделе Мои События

Такое происходит потому, что при отправке вы указываете в теме смайлик и письмо отправляется со смайликом.
Но при парсинге писем с почтового ящика смайлики удаляются из темы (ибо большинство из них могут быть не совместимы для корректного хранения в базе данных и это приводит к дублированию писем). В связи с этим получается 2 разных темы письма, и существующее письмо не находит.

Могу предложить вам 2 варианта решения:
1. Не использовать смайлики в теме писем
2. Можем сделать настройку, чтобы при парсинге не удалять символы подобные смайликам из темы - это доработка в 1 час. Но если смайлики будут распознаны из письма некорректно - письма все равно могут дублироваться.